圆形坯件的排样方法与件数计算

李贵祥

本文讨论的圆形坯件排样方法，是指在已知排样直径尺寸情况下，研究如何在给定的规格板或其它板料上，将同一排样直径的不同坯同时进行布置的方法。而圆形坯件排样件数的计算也是指在相应的条件下，即在已知圆形坯件的排样直径（排样直径等于落料直径加搭边值）和规格板尺寸的情况下，计算出该板能排坯件数的过程。

圆形坯件的排样方法与件数计算，在整个包装行业的圆形制罐、制桶、制盒过程中应用极为普遍。若不能正确认识排样直径，规格板的长宽尺寸及排样件数之间的关系问题。那么！要想求得相对于给定板和排样直径而言更为合理的排样布置件数是不可能的。也就是说，圆形坯件的任何合理排样方案，都是依具体的排样条件和方法及对应的排样件数计算而定。因此，只有分别研究出各种不同的排样方法和对应的件数计算式之后，方能求得必然的计算结果，并对计算结果作恰当的比较后，就能得到最优的排样方案。总之，只有根据不同的排样方法建立起不同的排样件数计算式之后，才能经综合分析求得合理的排样方案。这才是获得实施合理排样途径的科学方法。

一、问题的提起

从目前的许多国内外资料中得知，人们对圆形坯件的排样方法及计算问题存在着两种不同的认识与见解。一种认识与见解认为：在规格板上排圆形坯件时，恰巧实现正排方案排样利用率比较高。而另一种认识与见解则认为：在规格板上排圆形坯件时，能实现错排方案比实现正排方案的利用率更高。其实这两种认识与见解都各有遍面的正确性。经过认真研究分析后得到这样的结论：当规格板尺寸一定时，若排样直径d等于分界直径d。（当格板一定时，能使正排和错排获得相等排样件数情况下特有的排样直径称之为分界直径，并用山表示。只有讨论并把握正、错排的各种计算式之后，才可能用足够的篇幅来讨论这个问题）时，正排和错排的利用率是完全相等的；当排样直径d大于分界直径山时，采用正排利用率高于错排；当排样直径d小于分界直径do时，采用错排利用率高于正排。这样的认识与见解才是正确而可靠的。这个结论对有丰富排样经验和一定理论的人是不难理解的，但对无排样经验及理论的人而言，就比较难于理解。于是，有必要对这方面的有关问题作专题性的讨论。

但对上述结论的证明涉及到许多关于正排和错排的运算问题。为此，必须建立起与正排和错排有关的各种计算公式，方能使结论得到证明。，从而使人们懂得在什么条件下采用正排方案；在什么条件下采用错排方案；在什么条件下采用正排和错排相结合的方案，或得到以这几种方案为基础的搭配排样方案等的指导思想。故，必须分别讨论圆形坯件的正排、错排和正错合排的方法及相应的排样件数计算。然后在这些理论的基础之上，在讨论分界直径do的特性及其计算方法，从而使有关圆形坯件的合理排样方案与关键性的计算问题得到系统而完整的解决。

关于圆形坯件排样方案的件数计算问题，一般可用公式计算求得解决。对圆形坯件的任何一种排样方法的排样件数计算，都可理解为是排样坯件在给定板上的排布排数，乘以每一排能排布的件数所得的结果。如简单的正排方案的排样件数计算。如图1所示。就是在已知板长L、板宽B和排样直径d的情况下，用下面的表达式得到解决的。正排方案的排样件数N可按下式计算：

排样件数N=排件排数×每排的排布件数。

用代数式表示就是：

N={[(L-d)/d]+1}×{[(B-d)/d]+1}=LB/dd

也可用np表示L/d，用n表示B/d。所以排样件数N可按下式计算：N=np×N。当把np看成排数时，n就被看成是每排能排的件数。反之，当把n看成排数时，np则被看成是每一排会能排的件数。

所有圆形坯件排样方案的排样件数计算，几乎都可用类似于正排方法的件数计算法得立到解决。不过，仅是排数和每一排的排布件数的表达方式的具体运算内容，或数值的性质有名所不同而使计算式多种多样而已。

二、圆形坯件的正排方法及排样件数的计算：

这里讲的所谓圆形坯件的正排方法，是指为将同一排样直径尺寸的不同坯件能依次沿着给定板的长、宽方向正对着（各排圆相邻正位切点连心线均分别平行或垂直于板长或板宽方向）排布的一种方法。如图1所示。这种排样法的特点是：无论是规格板尺寸，还是排样直径尺寸的大小作任意不同的改变，只要保持正排关系，那么，排样利用率均为78.54%不。在规格板尽寸一定的情况下，正排方案实于排样直径较大时的排布情况。当排样直径较小时，采用错排方案代之正排方案实施排的利用率会更高。当正好实现正排方案时，板长L和板宽B与排样直径d之比都恰好是正整数。就是L/d=np，B/d=n，且np和n都是正整数。排样件数的多少直接同板长L和板宽B与排样直径d之比值的整数部份之大小相关。因此，排样件数的计算方法直接简单，并且易作各种逆运算。

为了便于排样坯件的落料冲切，需要使板坯件分切下料时，根据具体情况，可分别使分切线平行于板长方向，或者是板宽方向均可。

在这里只研究"正好恰巧实现正排方案"时的基本情况，而不研究其它情况下的正排方案，是因为要确定正排方案自身的排件合理与，在某种意义上讲，还要依靠错排的某些理i：才能获得圆满解决的缘故。因此，只有把正和错排结合起来研究，才能使排样理论获得突破性的进展。

在规格板一定的情况下，若排样直径小到一定时，用错排方案代之正排方案实施排样，使排样件数获得增加，从而可提高规格板的排样利用率。在说，当分析正排方案中的规格板长L和板宽B与排样直径d之比值的小数份时，仍然象错排方案那样存在多种情况的合理排样可能性。只有在解决了错排方案的各种合理排样可能性之后，才有可能解决好正排方案的各种上合理可能性。因此，在这里无法对正排作过多更细的讨论。

采用正排方法获得的排样方案，通常称之为正排方案。这种正排方案的排样件数N可下式计算：

N=LB/dd=np·n

式中N-表示排样件数，单位为件；

L、B-分别表示规格板的长和宽，单位为毫米；

d-表示排样直径，单位为毫米；

np、n-分别表示沿板长和板宽方向能排的排数或者是件数，单位为排或件。

例1：要把排样直径为250mm的钢桶盖，布在2000x1000x0.5mm的规格板上。问用正排方案实施排样时，能排多少件？

解：已知L=2000mm；B=lOOOmm;d=250mm；求排样件数N。

根据正排方案得知，排样件数N可按下式计算：

N=LB/dd=2000×2000/250×250=32件

即，用正排方案实施排样时，能排32件。

由上述正排方案的特性分析可知，要认定排样方案自身是否合理，还要在规格板和排样直径一定的条件下，借助于各种错排方案的应用及分析、比较、综合才能得出正确的结论。因此，正排公式N=LB/dd将成为圆形坯件排样方案是否合理的初判式是很必然的。所以，必须熟练地掌握它。在对不同排样方案的优劣作比较时，常用它来初判排样方案是否合理是十分有用的。

三、圆形坯件的错排方法及排样件数的计算

这里讲的所谓圆形坯件的错排方法，是指将同一排样直径尺寸的没坯件依次沿着给定板的长、宽方向错位着（各排圆相邻错位切点连心线均分别倾斜或成角于板长或板宽方向）排布的各种方法。

当同一排样直径的不同坯件依次沿着板长和板宽方向同时错位着排样时，得到的错排方案称之为双向错排方案，习惯简称为双错排方案。因板长和板宽方向的错位量有相等或不相等而区分为两种不同的情况：当板长和板宽方向的错位量相等，并且错位量均为一常数学d√2/2时的双向错排方案，称之为双向等距错排方案，当板长和板宽方向的错位量不相等，并且错位量不是某一特定常数时的双向错排方案，称之为双向不等距错排方案。

由于双向等距错排方案的错位量均为一常数d√2/2，恰好是进距d拒的d√2的1/2，其大小只以排样直径的大小有关，而以规格板的尺寸大小无关。如图2所示，当要求对有排样坯件的板行分切下料时，分切线与板长或者宽之间夹角总是成45度的。因此，这种排样方法的分切工艺性较好，同正排方案一样有着特殊的应用意义。于是，有必要对这种排样方法作专题性讨论。而双向不等距的错排方案，将在讨论单向错排方案时作出必要的讨论较适宜。

当同一排样直径的不同坯件依次只沿着板长，或板宽的某一方向错位着排样时，得到的错排方案称之为单向错排方案，习惯简称为单向错排方案。因错位量的取值范围不同，排样方式略有区别，但排样件数的计算式却完全不同。错位量的取值范围一般分为两个段来研究：一是错位量B-nd或者是L-npd大于0，但小于号；二是错位量B-nd或者是L-npd等于或'。在具体排样时，实际错排量的大小以规格板的尺寸及排样直径尺寸的大小同时相关。因此，错位量均可用含有板长，或板宽及排样直径的代数式来表示。从而便于计算公式的建立及运用。如图3所示。这种排样法的特点是：无论是规格板尺寸，还排样直径尺寸的大小作不同的的改变时，其排样利用率均会发生改变。在规格板尺寸—定的情况下，错排方案实用于排样直径较小时的排布场合。当正好实现错排方案时，排样件数的计算方法与错位量的大小及性质有关，而错位量又是依板长L或板宽B与排样直径d之比值的大小及小数部份的取值特性，得到合理的确定。

为了便于排样坯件的落料冲切，需要使板坯件分切下料时。根据具体情况可使分切线与板长方向，或者是板宽方向总是成一定的夹角。即分切线既不平行板长方向，又不平行板宽方向。这就是正、错排样方案实施过程中互相区别的最大特点。不过，双错排与单错排的分切还是有区别的，一般地说，双错排的分切工艺性优于单错排的分切工艺性。但在同种排样条件下，单错排的排样利用率又高于双错排的，它们各有其特点，应该有区别地运用。

由于双错排方案和单错排方案的排样性质不同。因此，其排样件数N的计算方法也并不一样。于是，有必要对它们分别作不同的讨论。

1．圆形坯件双向等距错排方案的排样件数计算

圆形坯件的双向等距错排方案的排样件数计算原理如图4所示。当正好实现双向等距错排方案时，由于板长L和板宽B与排样直径d之比都恰巧总是等于常数拒的倍数加1，或者是常数柜的倍数加0.5。就是或导=n拒+0.5，且np和n可分别是相等或不相等的任意正整数。区别仅在于当np不等n时，表明是在矩形板料上实施双向等距错排方案排样，当np等于n时，表明是在正方形板料上实施双向等距错排方案。

采用双向等距错排方法获得的排样方案，通常称之为双向等距错排方案，简称为双等距错排方案。这种双等距错排方案的排样件数计算比较特殊，不可能推导一个简化的计妻妻直接求得结果。如图4所示。排样件数计算式的建立，可按四种基本的情况分析：当已知L与B时得到第一种算式；当已知L，与B'时得到第二种算式；当已知L与B，时得到第三种算式；当已知L，与B时得到第四种算式。不过，具体计算时，通常是依据L：害和坠害的代数值的小数部分的大、小取舍来确定采用那个具体的计算式求得排样件数的。因此，一般是按以下的四种情况分析计算：

（1）当ki=L和k2=旦—垒的代数值的数部分都小于0.5，并且，只能取代数值的整数部分参与排样件数计算时，得到的是双等距排方案。方案的排样件数N可按下式计算：

或者表示成：

N二(ki+l)(k2+1)+klk2

(2)当k=1和k=2旱的代数值的数部分都大于0.5，并且，只能取到代数值的一位有效小数为0.5，连同整数部分参与排件数计算时，得到的仍然是双等距错排方案。方案的排样件数N可按下式计算：

或者表示成：

N=2(ki+0.5)(k2+0.5)

（3）当k=d的代数式值的小数部分小于0.5，并且，只取代数值的整数部分参与排样数计算；同时又有k2=BA的代数值的小部分大于0.5，并且，只能取到代数值的第一位有效小数为0.5参与排样件数计算时，得到的仍然是双等距错排方案。方案的排样件数f可按下式计算：

或者表示成：

N=(ki+1)(k2+0.5)+(k2+0.5)ki

（4）当ki=i，代数值的小数部分大于0.5，并且，只能取到代数值的第一位小数为0.5连同整数部分参与排样件数计算，同时又k2=d的代数值的小数部分小于0.5，并且，只能取整数部分参与排样件数计算时，得到的仍然是双等距错排方案。方案的排样件N可按下式计算：

或者表示成：

N二(ki+0.5)(k2+1)+(ki+0.5)k2

从上双向等距错排的四种情况，对应地得到四个不同的计算公式。但是计算式所表达的都是双向等距错排排样件数的实质性计算结果，因此，四个不同计算式中的代号含意是完全一样的。N-表示实施双等距错排时的排样件数，单位是件；L、B-分别表示给定规格板的长度和宽度，单位为mm；d-表示排样直径，单位为mm;ki、k2-表示同一代数式的不同值，用来表示简明的运算关系。

例2：现在要把排样直径为247mm的钢桶盖排布在2000x1000x0.5mm的规格板上。问用何种方案排样时，能使排样件数获得最多？

解：这一问题的解决，只能假设分别用不同的排法计算法求得实排件数后在作比较，方能确定更为合理的排样方案。

(1)当采用正排方案实施排样时，排样件数N可按下式计算：

(2)当采用双等距错排方案实施排样时，先求得L：害和旦宰的实际代数值，然后在确定采用那个具体的公式进行计算。分别把L=2000mm，B=1000mm，d=247mm代人相应的代数式求值得：

由于5.0185和2.1557数值中的小数部分0.0185和0.1557都同时小于0.5。故，只能取整数部分参与实施排样方案的排样件数计算时，得到的是双等距错排方案。这种方案的排样件数N可按下式计算：

(3)当沿板宽方向实施单向错排方案时，样件数N可按下式计算：

将作专题讨论。

经以上3种排样方案计算结果的分析得知，采用正排方案和沿板宽方向实施单向错排方案最佳，能获得的最多排样件数为32件。

以上例实际排样计算得知，有时不同的排样方案会得等效的排样结果。这一结论给我们研究不同排样方案在等效排样状况下的排样直径的大小及性质提供了可靠的依据。同时还必须清楚地认识到，在排样过程中，对具体的排样方案未作具体的分析计算之前，不能盲目的误认为某种排样方案获得的排样件数多。这样有可能在现实的排样中实施错误的排样方案。在具体的排样条件下，要求某两种或两种以上的方案作比较时，直接代人相应的排样方案计算式求解就可得出准确的结论。

例3要把排样直径为23mm的一种特殊坯件，排布在2000x1000x1.2mm的规格板上。试比较采用正排和双等距错排方案时，那一个案获得的排样件数较多？多几件？

解：已知1=2000mm;B=1000mm;d=23部mm；求排样件数N。

(1)当采用正排方案时，因为np=L/d=2000/23=86.957（只取正整数部分时得np=86），n=B/d=1000/23=43.478（只取整数部分时得n=43）。故排样件数N可按下式计算：

N=np×n=86x43=3698(件)

(2)当采用双等距错排方案时，先求得L：害和旦宅的实际代数值，然后在确定采用那个具体的计算公式进行计算。分别把L=2000mm,B=1000mm,d=23mm代人相应的代数式求值得：

由于60.7810和30.0370数值中的小数部分分别大于0.5和小于0.5。故，分别取小数部分为0.5和只取整数部分参与排样件数计算时，得到的仍是双向等距错排方案。方案的排样件数N可按下式计算：

两种排样方案的排样件数之差Ne为：

Ne=3721件-3698=23件

即、采用双向等距错排方案获得的排样件数较多，多23件。

在同种排样条件下，若有多种方式的排样方案存在时，都应分别进行不同方法的排样件数计算，最终起排样件数多而落料成形工艺性好的方案为最优排样方案。（未完待续）

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